Mass- Und Integrationstheorie: Eine Einfuhrung

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In der griechischen Mathematik hat man L ngen, Fl chen, Volumina durch das Ausschoepfungsprinzip des EUDOXOS von Knidos (vermutlich 408-355 v. Chr. ) bestimmt: In der Ebene ging man von der Annahme aus, dass die Flache eines Rechteckes das Produkt seiner Seitenlan- gen ist, und erhielt durch geschicktes Teilen und Verschieben von Flachenstucken die Flacheninhalte von einfachen Figuren wie Drei- ecken, Trapezen, Parallelogrammen usw . . Sollte nun die Flache ei- ner komplizierteren Figur K, etwa eines Kreises, bestimmt werden, so suchte man zu jeder positiven Zahl e einfache Figuren Ie und Ae mit Ie c K c Ae derart, dass der Inhalt der einfachen Figur Ae’ Ie kleiner als e wurde; fand man nun eine Zahl a mit Inhalt(Ie) a Inhalt(Ae) fur alle e>O, so gab man K den Flacheninhalt a. Es ist einfach zu sehen, dass dieser Begriff des Flacheninhalts additiv ist, d. h. es gilt fur disjunkte K und K, fur die man mittels des Ausschoepfung2 1 2 prinzipseinen Inhalt bestimmen kann, dass K u K einen Inhalt hat 1 2 und gilt. Mit der Prazisierung des Grenzwertbegriffs im 19. Jahrhundert konn- te diese Idee noch erfolgreicher benutzt werden. Bei der Definition 2 des RIEMANNschen Inhalts einer Menge Kc R verwendet man zur Appro- ximation von innen und aussen endliche Vereinidungen von achsenparal - lelen Rechtecken.