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Les Elements de mathematique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une presentation rigoureuse, systematique et sans prerequis des mathematiques depuis leurs fondements.
Ce second volume, inedit, du Livre consacre aux Theories spectrales a pour theme les proprietes spectrales des applications lineaires.
Le chapitre 3 etudie les applications lineaires compactes entre espaces vectoriels topologiques et la theorie de la perturbation par addition d'une application lineaire compacte, en particulier la theorie de Fredholm. Il se poursuit par la description du spectre d'un endomorphisme compact d'un espace de Banach, notamment les notions de spectre sensible et de spectre essentiel. On y demontre le theoreme de Krein–Rutman.
Le chapitre 4 contient les resultats fondamentaux de la theorie spectrale hilbertienne : operateurs compacts et nucleaires, endomorphismes normaux, operateurs partiels normaux. On y trouve egalement un expose concis des distributions et distributions temperees.
Enfin, le chapitre 5 aborde l'etude des representations unitaires des groupes topologiques (constructions elementaires, lemme de Schur, representations de carre integrable modulo le centre, classes de representations irreductibles). On y developpe aussi la theorie des fonctions de type positif et on y demontre le theoreme fondamental de Peter–Weyl.
Le texte est complete par de nombreux exercices et par une note historique portant sur le contenu des chapitres 1 a 5.
